00:40 Теорема Риса — Торина | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом[1], и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным в 1939 году[2][3]. Согласно теореме, для двух пространств ( Ω 1 , Σ 1 , μ 1 ) {\displaystyle (\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})} и ( Ω 2 , Σ 2 , μ 2 ) {\displaystyle (\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})} с мерами μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} и μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций L p ( Ω i ) {\displaystyle L_{p}(\Omega _{i})} , суммируемых с p {\displaystyle p} -й степенью ( p ⩾ 1 ) {\displaystyle (p\geqslant 1)} по мерам μ i {\displaystyle \mu _{i}} ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle (i=1,2)} , тройка банаховых пространств ( L p 0 ( Ω 1 ) , L p 1 ( Ω 1 ) , L p ( Ω 1 ) ) {\displaystyle (L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))} является нормально интерполяционной типа α {\displaystyle \alpha } относительно тройки ( L q 0 ( Ω 2 ) , L q 1 ( Ω 2 ) , L q ( Ω 1 ) ) {\displaystyle (L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))} , если: 1 p = 1 − α p 0 + α p 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}} и 1 q = 1 − α q 0 + α q 1 {\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}} , где 0 ⩽ α ⩽ 1 {\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1} [4]. (Тройка банаховых пространств ( A , B , E ) {\displaystyle (A,B,E)} является интерполяционной типа α {\displaystyle \alpha } , где 0 ⩽ α ⩽ 1 {\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1} , относительно тройки ( C , D , F ) {\displaystyle (C,D,F)} , если она интерполяционна и выполнено неравенство ∥ T ∥ E → F ⩽ c ∥ T ∥ A → C 1 − α ∥ T ∥ B → D α {\displaystyle \|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }} [5].) Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций[6]. Примечания[править | править вики-текст] ↑ Riesz M., Sur les maxima des formes bilineares et sur les fonctionalles linearies, Acta Math., 49 (1926), 465-497 ↑ Thorin G. O., An extension of convexity theorem due to M. Riesz, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 4 (1939), 1-5 ↑ Thorin G. O., Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 9 (1948), 1-58 ↑ Крейн, 1978, с. 37. ↑ Крейн, 1978, с. 36. ↑ Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М., Мир, 1965, т. II, с. 144-148 Литература[править | править вики-текст] Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978. — 400 с. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Риса_—_Торина&oldid=68958547» Категории: Функциональный анализИнтерполяция линейных операторовТеоремы функционального анализа | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |