Главная » 2017 » Октябрь » 31 » Теорема Риса — Торина
00:40
Теорема Риса — Торина
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии


Перейти к: навигация, поиск

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом[1], и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным в 1939 году[2][3].
Согласно теореме, для двух пространств



(

Ω

1


,

Σ

1


,

μ

1


)


{\displaystyle (\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}

и



(

Ω

2


,

Σ

2


,

μ

2


)


{\displaystyle (\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}

с мерами




μ

1




{\displaystyle \mu _{1}}

и




μ

2




{\displaystyle \mu _{2}}

соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций




L

p


(

Ω

i


)


{\displaystyle L_{p}(\Omega _{i})}

, суммируемых с



p


{\displaystyle p}

-й степенью



(
p

1
)


{\displaystyle (p\geqslant 1)}

по мерам




μ

i




{\displaystyle \mu _{i}}





(
i
=
1
,
2
)


{\displaystyle (i=1,2)}

, тройка банаховых пространств



(

L


p

0




(

Ω

1


)
,

L


p

1




(

Ω

1


)
,

L

p


(

Ω

1


)
)


{\displaystyle (L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))}

является нормально интерполяционной типа



α


{\displaystyle \alpha }

относительно тройки



(

L


q

0




(

Ω

2


)
,

L


q

1




(

Ω

2


)
,

L

q


(

Ω

1


)
)


{\displaystyle (L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))}

, если:






1
p


=



1

α


p

0




+


α

p

1






{\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}}

и





1
q


=



1

α


q

0




+


α

q

1






{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}}

,

где



0

α

1


{\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}

[4]. (Тройка банаховых пространств



(
A
,
B
,
E
)


{\displaystyle (A,B,E)}

является интерполяционной типа



α


{\displaystyle \alpha }

, где



0

α

1


{\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}

, относительно тройки



(
C
,
D
,
F
)


{\displaystyle (C,D,F)}

, если она интерполяционна и выполнено неравенство




T



E

F



c

T



A

C


1

α



T



B

D


α




{\displaystyle \|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }}

[5].)
Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций[6].
Примечания[править | править вики-текст]

↑ Riesz M., Sur les maxima des formes bilineares et sur les fonctionalles linearies, Acta Math., 49 (1926), 465-497
↑ Thorin G. O., An extension of convexity theorem due to M. Riesz, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 4 (1939), 1-5
↑ Thorin G. O., Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 9 (1948), 1-58
↑ Крейн, 1978, с. 37.
↑ Крейн, 1978, с. 36.
↑ Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М., Мир, 1965, т. II, с. 144-148

Литература[править | править вики-текст]

Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.


Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Риса_—_Торина&oldid=68958547»
Категории: Функциональный анализИнтерполяция линейных операторовТеоремы функционального анализа
Просмотров: 177 | Добавил: nataliya_igorevna_1969 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar