21:48 Теорема представлений Риса | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса. Содержание [скрыть] 1 Формулировка 2 Доказательство 2.1 Существование y {\displaystyle y} 2.2 Единственность y {\displaystyle y} 2.3 Равенство норм 3 См. также 4 Примечания Формулировка[править | править вики-текст] Пусть существуют гильбертово пространство H {\displaystyle H} и линейный ограниченный функционал f ∈ H ′ {\displaystyle f\in H'} в пространстве H {\displaystyle H} . Тогда существует единственный элемент y {\displaystyle y} пространства H {\displaystyle H} , такой, что для произвольного x ∈ H {\displaystyle x\in H} выполняется f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle } . Кроме того, выполняется равенство: ∥ y ∥ = ∥ f ∥ {\displaystyle \|y\|=\|f\|} . Доказательство[править | править вики-текст] ker ( f ) {\displaystyle \ker(f)} ядро линейного функционала является векторным подпространством H {\displaystyle H} . Существование y {\displaystyle y} [править | править вики-текст] Если f ≡ 0 {\displaystyle f\equiv 0} , то достаточно взять y = 0 {\displaystyle y=0} . Предположим, что f ≠ 0 {\displaystyle f\neq 0} . Тогда ker ( f ) ≠ H {\displaystyle \ker(f)\neq H} , и, следовательно, ортогональное дополнение ker ( f ) ⊥ {\displaystyle \ker(f)^{\bot }} ядра f {\displaystyle f} не равно { 0 } {\displaystyle \{0\}} . Выберем произвольный ненулевой вектор b ∈ ker ( f ) ⊥ ∖ { 0 } {\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \}}} . Положим y = f ( b ) ∥ b ∥ 2 b {\displaystyle y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b} . Мы покажем, что f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle } для всех x ∈ H {\displaystyle x\in H} . Рассмотрим вектор p x = x − f ( x ) f ( b ) b {\displaystyle p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b} . Заметим, что f ( p x ) = f ( x ) − f ( x ) f ( b ) f ( b ) = 0 {\displaystyle f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}f(b)=0} , и, таким образом, p x ∈ ker ( f ) {\displaystyle p_{x}\in \ker(f)} . Поскольку b ∈ ker ( f ) ⊥ {\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }} , то ⟨ b , p x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle =0} . Следовательно, ⟨ b , p x ⟩ = ⟨ b , x − f ( x ) f ( b ) b ⟩ = ⟨ b , x ⟩ − f ( x ) f ( b ) ∥ b ∥ 2 = 0 {\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0} . Отсюда f ( x ) = ⟨ b , x ⟩ f ( b ) ∥ b ∥ 2 {\displaystyle f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}} и f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle } . Единственность y {\displaystyle y} [править | править вики-текст] Предположим, что y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} элементы H {\displaystyle H} удовлетворяют f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ = ⟨ z , x ⟩ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle } . Это означает, что для всех x ∈ H {\displaystyle x\in H} справедливо равенство ⟨ y − z , x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle y-z,x\rangle =0} , в частности ⟨ y − z , y − z ⟩ = ∥ y − z ∥ 2 = 0 {\displaystyle \langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0} , откуда и получается равенство y = z {\displaystyle y=z} . Равенство норм[править | править вики-текст] Для доказательства ∥ y ∥ = ∥ f ∥ {\displaystyle \|y\|=\|f\|} сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: f ( x ) = ⟨ y , x ⟩ ≤ ∥ y ∥ ∥ x ∥ {\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|} . Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: ∥ f ∥ ≤ ∥ y ∥ . {\displaystyle \|f\|\leq \|y\|.} Кроме того, ⟨ y , y ⟩ = f ( y ) ≤ ∥ y ∥ ∥ f ∥ {\displaystyle \langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|} , откуда ∥ y ∥ ≤ ∥ f ∥ {\displaystyle \|y\|\leq \|f\|} . Объединяя два неравенства, получаем ∥ y ∥ = ∥ f ∥ {\displaystyle \|y\|=\|f\|} . См. также[править | править вики-текст] Теорема Лакса — Мильграма Примечания[править | править вики-текст] Для улучшения этой статьи по математике желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_представлений_Риса&oldid=78160438» Категории: Функциональный анализТеоремы функционального анализаТеории двойственностиСкрытые категории: Википедия:Стилистически некорректные статьиВикипедия:Статьи без ссылок на источникиВикипедия:Статьи без источников (тип: теорема)Википедия:Статьи к доработке по математике | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |