00:01 Система корней | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Эта статья — о системах корней в математике. О корневой системе растений см. корень. Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина использующиеся при классификации систем корней встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей. Содержание [скрыть] 1 Определение 1.1 Замечания 2 Классификация систем корней по схемам Дынкина 3 Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2 4 См. также 5 Ссылки Определение[править | править вики-текст] Пусть V {\displaystyle V} — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\;\cdot )} . Система корней в V {\displaystyle V} — это конечное множество Φ {\displaystyle \Phi } ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам. Целостное условие для ⟨ α , β ⟩ {\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }} заставляет β {\displaystyle \scriptstyle \beta } лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для ⟨ α , β ⟩ {\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }} сводит возможные углы между α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } и β {\displaystyle \scriptstyle \beta } не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых. V {\displaystyle V} является линейной оболочкой системы корней. Если два корня α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } , β ∈ Φ {\displaystyle \beta \in \Phi } являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо β = − α . {\displaystyle \beta =-\alpha .} Для каждого корня α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } множество Φ {\displaystyle \Phi } замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной α . {\displaystyle \alpha .} То есть для любых двух корней α {\displaystyle \alpha } и β {\displaystyle \beta } множество Φ {\displaystyle \Phi } содержит отражение β {\displaystyle \beta } σ α ( β ) = β − 2 ( α , β ) ( α , α ) α ∈ Φ . {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .} (Целостное условие) Если α {\displaystyle \alpha } и β {\displaystyle \beta } есть корни в Φ , {\displaystyle \Phi ,} то проекция β {\displaystyle \beta } на прямую, проходящую через α , {\displaystyle \alpha ,} есть полуцелое кратное α . {\displaystyle \alpha .} То есть ⟨ β , α ⟩ = 2 ( α , β ) ( α , α ) ∈ Z . {\displaystyle \langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .} Замечания[править | править вики-текст] С учётом свойства 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между β {\displaystyle \beta } и его отражением σ α ( β ) {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )} равна корню α , {\displaystyle \alpha ,} умноженному на некоторое целое число. Оператор ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Φ × Φ → Z , {\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} ,} определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу. Размерность V {\displaystyle V} называют рангом системы корней. Классификация систем корней по схемам Дынкина[править | править вики-текст] Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2[править | править вики-текст] Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов { α , − α } . {\displaystyle \{\alpha ,\;-\alpha \}.} Эта система называется A 1 . {\displaystyle A_{1}.} В ранге 2 существуют четыре возможных варианта σ α ( β ) = β + n α , {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,} где n = 0 , 1 , 2 , 3. {\displaystyle n=0,\;1,\;2,\;3.} Система корней ранга 2 Система корней A 1 × A 1 {\displaystyle A_{1}\times A_{1}} Система корней A 2 {\displaystyle A_{2}} Система корней B 2 {\displaystyle B_{2}} Система корней G 2 {\displaystyle G_{2}} См. также[править | править вики-текст] E8 (математика) Ссылки[править | править вики-текст] Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127. Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с. Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Система_корней&oldid=84811628» Категории: Группы ЛиАлгебры Ли | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |