Главная » 2017 » Октябрь » 31 » Система корней
00:01
Система корней
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии


Перейти к: навигация, поиск


Эта статья — о системах корней в математике. О корневой системе растений см. корень.

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина использующиеся при классификации систем корней встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Содержание
 [скрыть] 

1 Определение

1.1 Замечания

2 Классификация систем корней по схемам Дынкина
3 Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2
4 См. также
5 Ссылки

Определение[править | править вики-текст]
Пусть



V


{\displaystyle V}

 — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как



(

,


)


{\displaystyle (\cdot ,\;\cdot )}

. Система корней в



V


{\displaystyle V}

 — это конечное множество



Φ


{\displaystyle \Phi }

ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для






α
,

β





{\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}

заставляет




β



{\displaystyle \scriptstyle \beta }

лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для






α
,

β





{\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}

сводит возможные углы между




α



{\displaystyle \scriptstyle \alpha }

и




β



{\displaystyle \scriptstyle \beta }

не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.




V


{\displaystyle V}

является линейной оболочкой системы корней.
Если два корня



α

Φ


{\displaystyle \alpha \in \Phi }

,



β

Φ


{\displaystyle \beta \in \Phi }

являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо



β
=

α
.


{\displaystyle \beta =-\alpha .}


Для каждого корня



α

Φ


{\displaystyle \alpha \in \Phi }

множество



Φ


{\displaystyle \Phi }

замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной



α
.


{\displaystyle \alpha .}

То есть для любых двух корней



α


{\displaystyle \alpha }

и



β


{\displaystyle \beta }

множество



Φ


{\displaystyle \Phi }

содержит отражение



β


{\displaystyle \beta }






σ

α


(
β
)
=
β

2



(
α
,

β
)


(
α
,

α
)



α

Φ
.


{\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .}


(Целостное условие) Если



α


{\displaystyle \alpha }

и



β


{\displaystyle \beta }

есть корни в



Φ
,


{\displaystyle \Phi ,}

то проекция



β


{\displaystyle \beta }

на прямую, проходящую через



α
,


{\displaystyle \alpha ,}

есть полуцелое кратное



α
.


{\displaystyle \alpha .}

То есть





β
,

α

=
2



(
α
,

β
)


(
α
,

α
)





Z

.


{\displaystyle \langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .}


Замечания[править | править вики-текст]

С учётом свойства 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между



β


{\displaystyle \beta }

и его отражением




σ

α


(
β
)


{\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}

равна корню



α
,


{\displaystyle \alpha ,}

умноженному на некоторое целое число.
Оператор






,



:
Φ
×
Φ


Z

,


{\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} ,}


определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность



V


{\displaystyle V}

называют рангом системы корней.
Классификация систем корней по схемам Дынкина[править | править вики-текст]

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2[править | править вики-текст]
Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов



{
α
,


α
}
.


{\displaystyle \{\alpha ,\;-\alpha \}.}

Эта система называется




A

1


.


{\displaystyle A_{1}.}


В ранге 2 существуют четыре возможных варианта




σ

α


(
β
)
=
β
+
n
α
,


{\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,}

где



n
=
0
,

1
,

2
,

3.


{\displaystyle n=0,\;1,\;2,\;3.}


Система корней ранга 2

Система корней




A

1


×

A

1




{\displaystyle A_{1}\times A_{1}}


Система корней




A

2




{\displaystyle A_{2}}


Система корней




B

2




{\displaystyle B_{2}}


Система корней




G

2




{\displaystyle G_{2}}


См. также[править | править вики-текст]

E8 (математика)

Ссылки[править | править вики-текст]

Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127.
Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352.
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.


Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Система_корней&oldid=84811628»
Категории: Группы ЛиАлгебры Ли
Просмотров: 171 | Добавил: nataliya_igorevna_1969 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar