Главная » 2017 » Октябрь » 31 » Производная Пеано
01:01
Производная Пеано
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 ноября 2014;
проверки требует 1 правка.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 ноября 2014;
проверки требует 1 правка.


Перейти к: навигация, поиск

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.
Пусть имеет место равенство




f
(
x
)
=

a

0


+

a

1


(
x


x

0


)
+

+



a

r



r
!



(
x


x

0



)

r


+
γ
(
x
)
(
x


x

0



)

r




{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}}


где




a

0


,

a

1


,

,

a

r




{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}}

― постоянные и



γ
(
x
)

0


{\displaystyle \gamma (x)\to 0}

при



x


x

0




{\displaystyle x\to x_{0}}

и



γ
(

x

0


)
=
0


{\displaystyle \gamma (x_{0})=0}

. Тогда число




a

r




{\displaystyle a_{r}}

называется обобщенной производной Пеано порядка



r


{\displaystyle r}

функции



f


{\displaystyle f}

в точке




x

0




{\displaystyle x_{0}}

.
Обозначение:




f

(
r
)


(

x

0


)
=

a

r




{\displaystyle f_{®}(x_{0})=a_{r}}

, в частности




f

(
0
)


(

x

0


)
=
f
(

x

0


)


{\displaystyle f_{(0)}(x_{0})=f(x_{0})}

,




f

(
1
)


(

x

0


)
=

f


(

x

0


)


{\displaystyle f_{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})}

.
Свойства[править | править вики-текст]

Если существует




f

(
r
)


(

x

0


)


{\displaystyle f^{®}(x_{0})}

, то существует и




f

(
k
)


(

x

0


)


{\displaystyle f_{(k)}(x_{0})}

для



k

r


{\displaystyle k\leq r}

.

Если существует конечная обычная двусторонняя производная




f

(
r
)


(

x

0


)


{\displaystyle f^{®}(x_{0})}

, то




f

(
r
)


(

x

0


)
=

f

(
r
)


(

x

0


)


{\displaystyle f_{®}(x_{0})=f^{®}(x_{0})}

. Обратное неверно при



r
>
1


{\displaystyle r>1}

: для функции



f
(
x
)
=

x

n


D
(
x
)


{\displaystyle f(x)=x^{n}D(x)}

, где



D


{\displaystyle D}

 — функция Дирихле все




f

(
r
)


(
0
)
=
0


{\displaystyle f_{®}(0)=0}

для



r
<
n


{\displaystyle r
тогда как




f

(
r
)


(
0
)


{\displaystyle f^{®}(0)}

не определена для всех



r
>
1


{\displaystyle r>1}

.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

[показать]
Дифференциальное исчисление

Основное

Производная
Дифференциал
Производная по направлению
Частная производная
Полная производная функции
Логарифмическая производная
Матрица Якоби
Матрица Гессе
Дифференциальная форма
Дифференциальное уравнение

Частные виды

Абелев дифференциал
Производная Ли
Производная Дини
Производная Пинкерля
Производная Римана
Ковариантная производная
Производная Пеано
Производная Радона — Никодима

Дифференциальные операторы
(в различных координатах)

Первого порядка

Оператор набла
Градиент
Дивергенция
Ротор
Гельмгольциан

Второго порядка

Эллиптический оператор
Оператор Лапласа
Векторный оператор Лапласа
Оператор Д’Аламбера
Оператор Лапласа — Бельтрами

Высших порядков

Гипоэллиптический оператор

Связанные темы

Численное дифференцирование
Вариационное исчисление
Интеграл
Ряд Тейлора


Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Производная_Пеано&oldid=85141965»
Категория: Дифференциальное исчислениеСкрытые категории: Википедия:Статьи без ссылок на источникиВикипедия:Статьи без источников (тип: не указан)Википедия:Статьи к доработке по математике
Просмотров: 152 | Добавил: nataliya_igorevna_1969 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar