Главная » 2017 » Октябрь » 30 » Неустойчивость Рэлея — Тейлора
22:15
Неустойчивость Рэлея — Тейлора
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии


Перейти к: навигация, поиск



Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).
Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются нестабильности границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем (неустойчивость Крускала-Шварцшильда)
Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.
Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности, является число Атвуда.

Содержание
 [скрыть] 

1 Аналитическое описание
2 В природе
3 См. также
4 Литература
5 Ссылки

Аналитическое описание[править | править вики-текст]
Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.
Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести






g






{\displaystyle {\vec {g}}}

друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей




ρ

1


,

ρ

2




{\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}

. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:











v







t



+

(



v






)




v




=



1
ρ



P
+



g




,


{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},}





div




v




=
0.


{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}


В дальнейшем компоненты скорости определяются как






v




=

{
u
,
v
,
w
}



{\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}}

. Вполне очевидно, что равновесное решение (






v




=
0


{\displaystyle {\vec {v}}=0}

) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:








P



x



=
0
,





P



y



=
0
,





P



z



=

ρ
g


{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g}


Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):





P

0


=

ρ
g
z
.


{\displaystyle P_{0}=-\rho gz.}


Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость






v






{\displaystyle {\vec {v}}}

настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым




(



v






)




v






{\displaystyle \left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}}

в уравнении Эйлера, а давление имеет вид



P
=

P

0


+

P




{\displaystyle P=P_{0}+P'}

, где




P




P

0




{\displaystyle P'\ll P_{0}}

. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):











v







t



=



1
ρ



P
,


{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P,}





div




v




=
0.


{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}


Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие









ζ



t



=
w
,


{\displaystyle \quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,}


и динамическое условие





(

P

1




P

2


)



(

ρ

1




ρ

2


)

g
ζ
=
σ
Δ
ζ
.


{\displaystyle \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .}


Условие непротекания верхней и нижней границ:




z
=
±
h
:

w
=
0
,


{\displaystyle z=\pm h:\quad w=0,}


где



ζ


{\displaystyle \zeta }

- величина отклонения границы от невозмущённой,



σ


{\displaystyle \sigma }

- коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.
Положим, что возмущения имеют вид:







v




,
P
,
ζ


e

λ
t



e

i

(

k

x


x
+

k

y


y
)



,


{\displaystyle {\vec {v}},P,\zeta \sim e^{\lambda t}e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right)},}


где



λ


{\displaystyle \lambda }

- скорость роста (инкремент) возмущения,




k

x


,

k

y




{\displaystyle k_{x},k_{y}}

- компоненты волнового вектора возмущения границы.
Из уравнения Эйлера выражается



w


{\displaystyle w}

:




λ
w
=



1
ρ






P



z



,


{\displaystyle \lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}},}


а условие несжимаемости



div




v




=
0


{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0}

даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:










2


P




z

2







k

2


P
=
0
,


{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,}


с граничными условиями:




z
=
0
:


(

P

1




P

2


)



(

ρ

1




ρ

2


)

g
ζ
=

σ

k

2


ζ
,


{\displaystyle z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^{2}\zeta ,}





z
=
0
:



1

ρ

1









P

1





z






1

ρ

2









P

2





z



=
0
,


{\displaystyle z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,}





z
=
±
h
:





P



z



=
0.


{\displaystyle z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.}


Решение уравнения Лапласа для давления:





P

1


=

C

1


cosh

k

(
h

z
)

,


{\displaystyle P_{1}=C_{1}\cosh k\left(h-z\right),}






P

2


=

C

2


cosh

k

(
h
+
z
)

.


{\displaystyle P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\right).}


Константы




C

1


,

C

2




{\displaystyle C_{1},C_{2}}

определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора





λ

2


=




(

ρ

1




ρ

2


)

g

σ

k

2





ρ

1


+

ρ

2





k
tanh

k
h
,


{\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,}


откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при



λ
=
0


{\displaystyle \lambda =0}

):





k

c


2


=

(

ρ

1




ρ

2


)



g
σ




{\displaystyle k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}}

.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.
В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (



k
h

1


{\displaystyle kh\gg 1}

) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе





k

m


2


=

(

ρ

1




ρ

2


)



g

3
σ





{\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}}

.

В тонких слоях (



k
h

1


{\displaystyle kh\ll 1}

):





k

m


2


=

(

ρ

1




ρ

2


)



g

2
σ





{\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}}

.

В природе[править | править вики-текст]

Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб.

См. также[править | править вики-текст]

Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца
Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова

Литература[править | править вики-текст]

Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки[править | править вики-текст]

http://www.astronet.ru/db/msg/1188634


Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Неустойчивость_Рэлея_—_Тейлора&oldid=76563599»
Категория: Гидродинамика
Просмотров: 108 | Добавил: nataliya_igorevna_1969 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar