22:15 Неустойчивость Рэлея — Тейлора | |
| [править | править вики-текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора. Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.). Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются нестабильности границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем (неустойчивость Крускала-Шварцшильда) Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия. Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности, является число Атвуда. Содержание [скрыть] 1 Аналитическое описание 2 В природе 3 См. также 4 Литература 5 Ссылки Аналитическое описание[править | править вики-текст] Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости. Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести g → {\displaystyle {\vec {g}}} друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}} . Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера: ∂ v → ∂ t + ( v → ⋅ ∇ ) v → = − 1 ρ ∇ P + g → , {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},} div v → = 0. {\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.} В дальнейшем компоненты скорости определяются как v → = { u , v , w } {\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}} . Вполне очевидно, что равновесное решение ( v → = 0 {\displaystyle {\vec {v}}=0} ) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее: ∂ P ∂ x = 0 , ∂ P ∂ y = 0 , ∂ P ∂ z = − ρ g {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g} Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости): P 0 = − ρ g z . {\displaystyle P_{0}=-\rho gz.} Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость v → {\displaystyle {\vec {v}}} настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым ( v → ⋅ ∇ ) v → {\displaystyle \left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}} в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P 0 + P ′ {\displaystyle P=P_{0}+P'} , где P ′ ≪ P 0 {\displaystyle P'\ll P_{0}} . Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен): ∂ v → ∂ t = − 1 ρ ∇ P , {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P,} div v → = 0. {\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.} Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие ∂ ζ ∂ t = w , {\displaystyle \quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,} и динамическое условие ( P 1 − P 2 ) − ( ρ 1 − ρ 2 ) g ζ = σ Δ ζ . {\displaystyle \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .} Условие непротекания верхней и нижней границ: z = ± h : w = 0 , {\displaystyle z=\pm h:\quad w=0,} где ζ {\displaystyle \zeta } - величина отклонения границы от невозмущённой, σ {\displaystyle \sigma } - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается. Положим, что возмущения имеют вид: v → , P , ζ ∼ e λ t e i ( k x x + k y y ) , {\displaystyle {\vec {v}},P,\zeta \sim e^{\lambda t}e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right)},} где λ {\displaystyle \lambda } - скорость роста (инкремент) возмущения, k x , k y {\displaystyle k_{x},k_{y}} - компоненты волнового вектора возмущения границы. Из уравнения Эйлера выражается w {\displaystyle w} : λ w = − 1 ρ ∂ P ∂ z , {\displaystyle \lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}},} а условие несжимаемости div v → = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0} даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение: ∂ 2 P ∂ z 2 − k 2 P = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,} с граничными условиями: z = 0 : ( P 1 − P 2 ) − ( ρ 1 − ρ 2 ) g ζ = − σ k 2 ζ , {\displaystyle z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^{2}\zeta ,} z = 0 : 1 ρ 1 ∂ P 1 ∂ z − 1 ρ 2 ∂ P 2 ∂ z = 0 , {\displaystyle z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,} z = ± h : ∂ P ∂ z = 0. {\displaystyle z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.} Решение уравнения Лапласа для давления: P 1 = C 1 cosh k ( h − z ) , {\displaystyle P_{1}=C_{1}\cosh k\left(h-z\right),} P 2 = C 2 cosh k ( h + z ) . {\displaystyle P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\right).} Константы C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора λ 2 = ( ρ 1 − ρ 2 ) g − σ k 2 ρ 1 + ρ 2 k tanh k h , {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,} откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} ): k c 2 = ( ρ 1 − ρ 2 ) g σ {\displaystyle k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}} . Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать. В предельном случае бесконечно глубоких слоёв ( k h ≫ 1 {\displaystyle kh\gg 1} ) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе k m 2 = ( ρ 1 − ρ 2 ) g 3 σ {\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}} . В тонких слоях ( k h ≪ 1 {\displaystyle kh\ll 1} ): k m 2 = ( ρ 1 − ρ 2 ) g 2 σ {\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}} . В природе[править | править вики-текст] Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб. См. также[править | править вики-текст] Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова Литература[править | править вики-текст] Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146. Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111. Ссылки[править | править вики-текст] http://www.astronet.ru/db/msg/1188634 Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Неустойчивость_Рэлея_—_Тейлора&oldid=76563599» Категория: Гидродинамика | |
|
| |
| Всего комментариев: 0 | |