Главная » 2017 » Октябрь » 31 » Антиголоморфная функция
00:04
Антиголоморфная функция
[править | править вики-текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии


Перейти к: навигация, поиск

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.
Определение[править | править вики-текст]
Функция



f


{\displaystyle f}

, определённая на открытом подмножестве



D


{\displaystyle D}

комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная






d
f


d



z
¯








{\displaystyle {\frac {df}{d{\bar {z}}}}}

по






z
¯





{\displaystyle {\bar {z}}}

существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию








f



z



=
0


{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}=0}


которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:








u



x



=





v



y





{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}}









u



y



=




v



x





{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}}


где




f
(
x
,
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
,

z
=
x
+
i
y
,

{
x
,
y
,
u
,
v
}


R



{\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R} }


Функция, зависящая одновременно от



z


{\displaystyle z}

и






z
¯





{\displaystyle {\bar {z}}}

, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.
Свойства[править | править вики-текст]




f
(
z
)


{\displaystyle f(z)}

голоморфна в



D


{\displaystyle D}

тогда и только тогда, когда



f
(



z
¯



)


{\displaystyle f({\bar {z}})}

антиголоморфна в






D
¯



=
{



z
¯




|

z

D
}


{\displaystyle {\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}}

.
функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням






z
¯





{\displaystyle {\bar {z}}}

в окрестности каждой точки её области определения.




f
(
z
)


{\displaystyle f(z)}

голоморфна в



D


{\displaystyle D}

тогда и только тогда, когда






f
¯



(
z
)


{\displaystyle {\bar {f}}(z)}

антиголоморфна в



D


{\displaystyle D}

.
если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература[править | править вики-текст]

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.


Источник — «https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Антиголоморфная_функция&oldid=53491944»
Категории: Комплексный анализТипы функций
Просмотров: 148 | Добавил: nataliya_igorevna_1969 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar